Question

【題目】已知O是坐標原點，點A的坐標是（5，0），點B是y軸正半軸上一動點，以OB、OA為邊作矩形OBCA，點E、H分別在邊BC和邊OA上，將△BOE沿著OE對折，使點B落在OC上的F點處，將△ACH沿著CH對折，使點A落在OC上的G點處．

（1）如圖1，求證：四邊形OECH是平行四邊形；
（2）如圖2，當點B運動到使得點F、G重合時，求點B的坐標，并判斷四邊形OECH是什么四邊形？說明理由；

（3）當點B運動到使得點F，G將對角線OC三等分時，如圖3，如圖4，分別求點B的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵四邊形OBCA為矩形，

∴OB∥CA，BC∥OA，

∴∠BOC=∠OCA，

又∵△BOE沿著OE對折，使點B落在OC上的F點處；△ACH沿著CH對折，使點A落在OC上的G點處，

∴∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，

∴∠EOC=∠OCH，

∴OE∥CH，

又∵BC∥OA，

∴四邊形OECH是平行四邊形；

（2）解：點B的坐標是（0， ）；四邊形OECH是菱形．理由如下：如圖2，

∵△BOE沿著OE對折，使點B落在OC上的F點處；△ACH沿著CH對折，使點A落在OC上的G點處，

∴∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，

∵點F，G重合，

∴EH⊥OC，

又∵四邊形OECH是平行四邊形，

∴平行四邊形OECH是菱形，
∴EO=EC，

∴∠EOC=∠ECO，

又∵∠EOC=∠BOE，

∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，

又∵點A的坐標是（5，0），

∴OA=5，

∴BC=5，

在Rt△OBC中，OB= BC= ，

∴點B的坐標是（0， ）；

（3）解：①當點F在點O，G之間時，如圖3，

∵△BOE沿著OE對折，使點B落在OC上的F點處；△ACH沿著CH對折，使點A落在OC上的G點處，

∴OF=OB，CG=CA，

而OB=CA，

∴OF=CG，

∵點F，G將對角線OC三等分，

∴AC=OF=FG=GC，

設AC=m，則OC=3m，

在Rt△OAC中，OA=5，

∵AC2+OA2=OC2，

∴m2+52=（3m）2，解得m= ，

∴OB=AC= ，

∴點B的坐標是（0， ）；

②當點G在O，F之間時，如圖4，

同理可得OF=CG=AC，

設OG=n，則AC=GC=2n，

在Rt△OAC中，OA=5，

∵AC2+OA2=OC2，

∴（2n）2+52=（3n）2，解得n= ，

∴AC=OB=2 ，

∴點B的坐標是（0，2 ）．

【解析】（1）如圖1，根據矩形的性質得OB∥CA，BC∥OA，再利用平行線的性質得∠BOC=∠OCA，然后根據折疊的性質得到∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，故∠EOC=∠OCH，根據平行線的判定定理得OE∥CH，又BC∥OA，于是可根據平行四邊形的判定方法得四邊形OECH是平行四邊形；
（2）如圖2，先根據折疊的性質得∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，由點F，G重合得到EH⊥OC，根據菱形的判定方法得到平行四邊形OECH是菱形，則EO=EC，根據等邊對等角得∠EOC=∠ECO，而∠EOC=∠BOE，根據三角形內角和定理可計算出∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，在Rt△OBC中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得OB ，從而得出B點的坐標；

（3）分類討論：①當點F在點O，G之間時，如圖3，，根據折疊的性質得OF=OB，CG=CA，則OF=CG，故AC=OF=FG=GC，設AC=m，則OC=3m，在Rt△OAC中，根據勾股定理得出方程，解方程得m的值，從而找到OA=AC的長，得出B點坐標；
②當點G在O，F之間時，如圖4，，同理可得OF=CG=AC，設OG=n，則AC=GC=2n，在Rt△OAC中，OA=5，根據勾股定理得出方程，解出方程即得出AC=OB的長，進而得出B點的坐標。

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行線的判定與性質的相關知識，掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質，以及對平行四邊形的判定的理解，了解兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．