Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B=45°，AD=2，BC=6，以BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點A在y軸上．
（1）求過A、D、C三點的拋物線的解析式．
（2）求△ADC的外接圓的圓心M的坐標，并求⊙M的半徑．
（3）E為拋物線對稱軸上一點，F為y軸上一點，求當ED+EC+FD+FC最小時，EF的長．
（4）設Q為射線CB上任意一點，點P為對稱軸左側拋物線上任意一點，問是否存在這樣的點P、Q，使得以P、Q、C為頂點的△與△ADC相似？若存在，直接寫出點P、Q的坐標；若不存在，則說明理由．

Answer 1

（1）由題意知C（3，0）、A（0，3）．
如圖1，過D作x軸垂線，由矩形性質得D（2，3）．
由拋物線的對稱性可知拋物線與x軸另一交點為（-1，0）．
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．
將（0，3）代入得a=-1，所以y=-x²+2x+3．

（2）由外接圓知識知M為對稱軸與AC中垂線的交點．
由等腰直角三角形性質得OM平分∠AOC，即y_OM=x，
∴M（1，1）．
連MC得MC=

5

，即半徑為

5

．

（3）如圖2，由對稱性可知：當ED+EC+FD+FC最小時，E為對稱軸與AC交點，F為BD與y軸交點，
∵∠B=45°，∠AOB=90°，
∴AO=BO=3，故B點坐標為：（-3，0），
再利用D（2，3），代入y=ax+b，得：

2a+b=3 -3a+b=0

，
解得：

a= 3 5 b= 9 5

，
故BD直線解析式為：y=

3

5

x+

9

5

，
當x=0，y=

9

5

，根據對稱軸為直線x=1，則y=2，
故F（0，

9

5

）、E（1，2），
EF=

ET2+FT2

=

12+( 1 5 )2

=

26

5

．

（4）可得△ADC中，AD=2，AC=3

2

，DC=

10

．
假設存在，顯然∠QCP＜90°，則∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD．
如圖3，當∠QCP=45°時，OR=OC=3，
則R點坐標為（0，-3），將C，R代入y=ax+b得出：

b=-3 3a+b=0

，
解得：

a=1 b=-3

，
這時直線CP的解析式為y=x-3，同理可得另一解析式為：y=-x+3．
當直線CP的解析式為y=x-3時，
則x-3=-x²+2x+3，
解得：x₁=-2，x₂=3，
可求得P（-2，-5），
故PC=

52+52

=5

2

．
設CQ=x，則

2

3 2

=

x

5 2

或

2

3 2

=

5 2

x

，
解得：x=

10

3

或x=15．
∴Q（-

1

3

，0）或（-12，0）．
當y=-x+3即P與A重合時，CQ=y，則

AD

AC

=

QC

AC

，
即

2

3 2

=

y

3 2

，或

2

3 2

=

3 2

y

，
解得CQ=2或9，
故Q（1，0）或（-6，0）．
如圖4，當∠QCP=∠ACD時，設CP交y軸于H，連接ED，則ED⊥AC，
∴DE=

2

，EC=2

2

，
易證：△CDE∽△CHQ，
所以

HO

2

=

3

2 2

，
∴HO=

3

2

．
可求HC的解析式為y=

1

2

x-

3

2

．
聯解

y= 1 2 x- 3 2 y=-x2+2x+3

，
得P（-

3

2

，-

9

4

），PC=

9

4

5

．
設CQ=x，知

10

x

=

3 2

9 4 5

或

10

9 4 5

=

3 2

x

，
∴x=

15

4

或x=

27

4

，
∴Q（-

3

4

，0）或（-

15

4

，0）．
同理當H在y軸正半軸上時，HC的解析式為y=-

1

2

x+

3

2

．
∴P’（-

1

2

，

7

4

），
∴PC=

7

4

5

．
∴

10

CQ

=

3 2

7 4 5

或

10

7 4 5

=

3