Question

如圖甲，已知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點B，直線m垂直AB于點C，交⊙O于P、Q兩點．連接AP，過O作OD∥AP交l于點D，連接AD與m交于點M．
（1）如圖乙，當直線m過點O時，求證：M是PO的中點；
（2）如圖甲，當直線m不過點O時，M是否仍為PC的中點？證明你的結論．

Answer 1

證明：（1）連接PD，
∵AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點B，直線m垂直AB于點C，
∴∠POA=∠DBA=90°，
∵OD∥AP，
∴∠PAO=∠DOB，
又∵AO=BO，
∴△APO≌△ODB，
∴AP=OD，
∴四邊形APDO是平行四邊形，
∴M是PO中點；

（2）M仍為PC的中點，理由如下：
∵AP∥OD，
∴∠PAO=∠DOB，又∠PCA=∠DBO=90°，
∴△APC∽△ODB，
∴

PC

BD

=

AC

BO

①，
又易證△ACM∽△ABD，
∴

AC

AB

=

MC

BD

，
∵AB=2OB，
∴

AC

2OB

=

MC

BD

，
∴

AC

OB

=

2MC

BD

②，
由①②得，

PC

BD

=

2MC

BD

，
∴即PC=2MC．
M仍為PC的中點．