Question

某校舉辦了七、八年級“語數英三科綜合能力測評”，為了給獲獎學生發獎，老師進行了市場調查，經調查可知，購買2個計算器，3個筆記本和5支中性筆共需34元；購買1個計算器，5個筆記本和3支中性筆共需28元（計算器、筆記本、中性筆的單價均為整數）．如果一等獎的獎品為計算器，二等獎的獎品為筆記本，三等獎的獎品為中性筆（七、八年級分別取一、二、三等獎，且一、二、三等獎的名額分別相同，一、二、三等獎的人數依次遞增，獲二、三等獎的人數均為10的倍數），若購買獎品的總金額為160元，則取獎方案有幾種？

Answer 1

分析：設計算器的價格為x元/個，筆記本的價格為y元/個，中性筆的價格為z元/個，根據購買2個計算器，3個筆記本和5支中性筆共需34元；購買1個計算器，5個筆記本和3支中性筆共需28元，且計算器、筆記本、中性筆的單價均為整數可列出方程求出解，且根據且一、二、三等獎的名額分別相同，一、二、三等獎的人數依次遞增，獲二、三等獎的人數均為10的倍數），若購買獎品的總金額為160元，找到方案．

解答：解：設計算器的價格為x元/個，筆記本的價格為y元/個，中性筆的價格為z元/個，依題意，
有

2x+3y+5z=34① x+5y+3z=28②

②×2-①得，7y+z=22，∴z=22-7y
①×3-②×5，得x-16y=-38，∴x=16y-38
故

22-7y≥1 16y-38≥1

∴2

7

16

≤y≤3
∵y是整數，∴y=3
∴x=16×3-38=10，z=22-7×3=1，
設七、八年級各取一、二、三等獎a名，b名，c名，依題意，有
20a+6b+2c=160
即10a+3b+c=80
滿足條件的正整數解為

a=1 b=10 c=40

a=2 b=10 c=30

a=3 b=10 c=20

．
所以有3種取獎方案．

點評：本題考查理解題意的能力，根據購買獎品的錢數列出方程，根據購買為整數，確定范圍求出值，然后根據獲獎人數和購買獎品的總金額可確定方案．