Question

已知：如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=7cm．兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿著線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度沿著線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．
（1）P、Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過幾秒后，△PCQ的面積等于4厘米²？經(jīng)過幾秒后PQ的長度等于5厘米？
（2）在P、Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形ABPQ的面積能否等于11厘米²？試說明理由．
（3）經(jīng)過幾秒時(shí)以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）若使其面積為4，即S_△PCQ=

1

2

PC•QC=4，代入數(shù)據(jù)求解即可；
（2）若四邊形ABPQ的面積能否等于11，即S_△PCQ=

5×7

2

-11=

13

2

，建立方程，解方程看是否有解，若有，則存在；
（3）要使三角形相似，其對應(yīng)邊成比例即可．

解答：解：（1）可設(shè)經(jīng)x秒后其面積為4，
即

1

2

×（5-x）×2x=4，
解得x=1，
即經(jīng)過1秒后，其面積等于4厘米²．
當(dāng)經(jīng)過t秒后PQ=5，
∵PC²+CQ²=PQ²，
∵PC=5-t，CQ=2t，PQ=5，
∴（5-t）²+（2t）²=5²，
解得：t=0或2，
∴當(dāng)經(jīng)過0秒或2秒后PQ=5；

（2）若四邊形ABPQ的面積能否等于11厘米²，即S_△PCQ=

5×7

2

-11=

13

2

，
即

1

2

×（5-x）×2x=

13

2

，
化簡得2x²-10x+13=0
△=b²-4ac=10×10-4×2×13＜0，
所以此方程無解．
故四邊形ABPQ的面積不能等于11厘米²．

（3）若兩個(gè)三角形相似，當(dāng)PQ∥AB，即

5-x

x

=

2x

7-2x

，
解得x=

35

17

．
當(dāng)PQ不平行AB時(shí)，

2x

5-x

=

5

7

解得：x=

25

19

即經(jīng)過

35

17

或

25

19

秒后兩三角形相似．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的面積問題，能夠熟練運(yùn)用其性質(zhì)求解一些簡單的計(jì)算問題．