Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，點E是DC的中點，過點E作DC的垂線交AB于點P，交CB的延長線于點M．點F在線段ME上，且滿足CF＝AD，MF＝MA．

(1)若∠MFC＝120°，求證：AM＝2MB；
(2)求證：∠MPB＝90°－∠FCM．  

Answer 1

(1) 連結MD,
E是DC的中點，且ME⊥DC
EM是CD的垂直平分線
MD=MC
△AMD和△FMC中
AM=FM
MD=MC
AD=FC
△AMD△FMC  (SSS)
MAD=MFC=125
又AD∥BC 且∠ABC=90
 BAD=90
 MAB=35
 MB=AM
即MB=MF
MF=2MB
(2) MD="MC" 且ME⊥DC       
 ME平分DMC
FMC=DMC
又 AD∥MC
DMC=ADM
又△AMD△FMC
ADM=FCM
DMC=FCM
FMC=FCM
Rt△BPM中
MPB=90-FMC
=90-FCM

（1）連接MD，由于點E是DC的中點，ME⊥DC，所以MD=MC，然后利用已知條件證明△AMD≌△FMC，根據全等三角形的性質可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°，接著得到∠MAB=30°，再根據30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可證明AM=2BM；
（2）利用（1）的結論得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性質即可得到∠CME=∠FCM，再根據已知條件即可解決問題．