Question

AB是⊙O的一條弦，它的中點為M，過點M作一條非直徑的弦CD，過點C和D作⊙O的兩條切線，分別與直線AB相交于P、Q兩點．求證：PA=QB

Answer 1

通過證明∠OPM=∠OCM=∠ODM=∠OQM． 故OP= OQ.從而，MP="MQ." 又MA=MB，所以，PA=QB.

試題分析：如圖，聯結OM、OP 、OQ、OC、OD.因為PC,為0 D的切線（已知）
，M為弦AB的中點，所以OM⊥AB，垂足為點M。則∠PCO=∠PMO=90°。
 
根據四點共圓判定：共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等，所以，P、C、M、O四點共圓．則 同理圓內接四邊形的對角互補，易知∠OMB=∠ODQ=90°，所以它們對角互補。則Q、D、O、M四點共圓．所以則有∠OPM=∠OCM=∠ODM=∠OQM．
易知OP=OQ.所以，MP="MQ." 又因為MA=MB，所以，PA=QB.
點評：本題難度較低，主要考查學生對圓的切線性質及四點共圓的判定與性質等知識點的掌握。