Question

【題目】探究題

【問題提出】
已知任意三角形的兩邊及夾角（是銳角），求三角形的面積．
【問題探究】
為了解決上述問題，讓我們從特殊到一般展開探究．
探究：在Rt△ABC（圖1）中，∠ABC=90°，AC=b，BC=a，∠C=α，求△ABC的面積（用含a、b、α的代數式表示）
在Rt△ABC中，∠ABC=90°
∴sinα=
∴AB=bsinα
∴S△ABC= BCAB= absinα
（1）探究一：
銳角△ABC（圖2）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）
求：△ABC的面積．（用含a、b、α的代數式表示）
（2）探究二：
鈍角△ABC（圖3）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）
求：△ABC的面積．（用含a、b、α的代數式表示）
（3）【問題解決】
用文字敘述：已知任意三角形的兩邊及夾角（是銳角），求三角形面積的方法
是
（4）已知平行四邊形ABCD（圖4）中，AB=b，BC=a，∠B=α（0°＜α＜90°）
求：平行四邊形ABCD的面積．（用含a、b、α的代數式表示）

Answer 1

【答案】
（1）

如圖2中，作AH⊥CB于H．

在Rt△AHC中，∠AHC=90°

∴sinα=

∴AH=bsinα

∴S△ABC= BCAH= absinα

（2）

如圖3中，作AH⊥CB于H．

在Rt△AHC中，∠AHC=90°

∴sinα= ，

∴AH=bsinα

∴S△ABC= BCAH= absinα

（3）S= absin∠C（∠C是a、b兩邊的夾角）
（4）

如圖4中，作AH⊥CB于H．

在Rt△AHB中，∠AHB=90°

∴sinα= ，

∴AH=bsinα

∴S平行四邊形ABCD=BCAH=absinα．

【解析】探究二：如圖2中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解決問題；探究三：如圖3中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解決問題；
問題解決：S= absin∠C（∠C是a、b兩邊的夾角）；問題應用：如圖4中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解決問題；
【考點精析】關于本題考查的三角形的“三線”和三角形的面積，需要了解1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內；三角形的面積=1/2×底×高才能得出正確答案．