Question

【題目】如圖（1），已知四邊形ABCD的四條邊相等，四個內角都等于90°，點E是CD邊上一點，F是BC邊上一點，且∠EAF=45°．

（1）求證：BF+DE=EF；

（2）若AB=6，設BF=x，DE=y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；

（3）過點A作AH⊥FE于點H，如圖（2），當FH=2，EH=1時，求△AFE的面積．

　

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=（0≤x≤6）；（3）．

【解析】

（1）如圖1中，將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABH．只要證明△AFH≌△AFE（SAS）即可解決問題；,

（2）利用（1）中結論，在Rt△ECF中，根據EF2=CF2+EC2，構建關系式即可；

（3）如圖2中，將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABM．首先證明AH=AB，設AB=x，在Rt△EFC中，利用勾股定理構建方程即可解決問題；

（1）如圖1中，將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠BAF+∠BAH=∠BAF+∠DAE=45°，

∴∠FAH=∠FAE=45°，

∵AF=AF，AH=AE，

∴△AFH≌△AFE（SAS），

∴EF=FH，

∵FH=BH+BF=DE+BF，

∴EF=BF+DE；

（2）∵AB=BC=CD=6，BF=x，DE=y，

∴EF=x+y，FC=6=﹣x，EC=6﹣y，

在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，

∴（x+y）2=（6﹣x）2+（6﹣y）2，

∴y=（0≤x≤6）；

（3）如圖2中，將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABM．

由（1）可知△AFM≌△AFH，

∵AB⊥FM，AH⊥EF，

∴AB=AH，

設AB=BC=CD=AD=x，

∵∠ABF=∠AHF=90°，

∵AF=AF．AB=AH，

∴Rt△AFB≌Rt△AFH（HL），

∴BF=FH=2，同理可證：DE=EH=1，

∴CF=x﹣2，EC=x﹣1，

在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，

∴32=（x﹣2）2+（x﹣1）2，

∴x=或（舍棄），

∴S△AEF=EFAH=×3×=．