Question

如圖，已知矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，E在矩形ABCD的邊AD上，點F在矩形ABCD的邊BC上，且BF=5，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，BF的對應線段FB′交邊AD于點G．

（1）判斷△EFG是何種特殊三角形，并證明你的結論．
（2）在折疊過程中，不重疊部分（陰影圖形）的周長之和p會發(fā)生變化嗎？若不變化，請求出p的值；若變化，請說明理由．
（3）當△EFG是銳角三角形時，求AE的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用翻折變換的性質得出：∠1=∠3，2=∠3，則∠1=∠2，即可得出答案；
（2）利用翻折變換的性質得出AE=A′E，B′F=BF，AB′=AB′，即可得出答案；
（3）分別求出當B′F⊥AD時，則∠AGF=90°，以及當FB′經(jīng)過點D時，分別得出AE的長，即可得出AE的取值范圍．

解答：解：（1）△EFG是等腰三角形，
理由：根據(jù)題意得出：∠1=∠3，2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴EG=GF，
∴△EFG是等腰三角形；

（2）不變，
理由：根據(jù)翻折變換的性質得出：AE=A′E，B′F=BF，AB′=AB′，
∴陰影圖形的周長之和p為：AB+CD+BC+AD=18；

（3）當B′F⊥AD時，則∠AGF=90°，
∴EG=FG=AB=3，
∵BF=5，
∴AE=2，
當FB′經(jīng)過點D時，
則FD=

CD2+FC2

=

10

，
∴ED=

10

，
∴AE=AD=ED=

10

，
∴△EFG是銳角三角形時，AE的取值范圍是：2＜AE≤6-

10

．

點評：此題主要考查了四邊形綜合應用以及翻折變換的性質和勾股定理等知識，利用極值法進行分類討論得出AE的取值范圍是解題關鍵．