Question

【題目】如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC，斜邊AB為邊向外作等邊三角形△ACD和△ABE，F為AB的中點，連接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．則以下4個結論：①AC⊥DF；②四邊形BCDF為平行四邊形；③DA+DF＝BE；④其中，正確的 是（　　）

A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據平行四邊形的判定定理判斷②，根據平行四邊形的性質和平行線的性質判斷①，根據三角形三邊關系判斷③，根據等邊三角形的性質分別求出△ACD、△ACB、△ABE的面積，計算即可判斷④．

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∵△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F為AB的中點，
∴BF=AB，
∴BF∥CD，CD=BF，
∴四邊形BCDF為平行四邊形，②正確；
∵四邊形BCDF為平行四邊形，
∴DF∥BC，又∠ACB=90°，
∴AC⊥DF，①正確；
∵DA=CA，DF=BC，AB=BE，BC+AC＞AB
∴DA+DF＞BE，③錯誤；
設AC=x，則AB=2x，
S△ACD= ，④錯誤，
故選：A．