Question

如圖，點P(－m，m²)拋物線：y = x²上一點，將拋物線E沿x軸正方向平移2m個單位得到拋物線F，拋物線F的頂點為B，拋物線F交拋物線E于點A，點C是x軸上點B左側一動點，點D是射線AB上一點，且∠ACD = ∠POM．問△ACD能否為等腰三角形？

若能，求點C的坐標；若不能，請說明理由．

說明：⑴如果你反復探索，沒有解決問題，請寫出探索過程(要求至少寫3步)；⑵在你完成⑴之后，可以從①、②中選取一個條件，完成解答

①m = 1；②m = 2．

附加題:如下圖，若將上題“點C是x軸上點B左側一動點”改為“點C是直線y =－m²上點N左側一動點”，其他條件不變，探究上題中的問題．

Answer 1

解：ACD能為等腰三角形

      由平移的性質可得，A點坐標為（）,B點坐標（）

      設C點坐標為（），過A點作AH軸，垂足為H，連結AO，

      A點坐標為（），H點坐標為（m,0）,AH=

      B點坐標為（），OH=BH=m

       AB=AO，ABC=AOB，由已知可得,AB//OP, ABC=POM

      又ACD=POM, ACD=ABC=AOB

      若ACD為等腰三角形，則AC=AD，或CD=CA，或DA=DC

      當AC=AD時，

      如下圖，AC=AD，ACD=ADC

     

      ADC=ACD=ABC點D與點B重合，點C與點O重合，

      C點坐標為（0，0）

       當CD=CA時，

      方法一：

      如下圖，CD=CA，CAD=CDA，ABC=AOB，

     

      CBD=AOC

      ACD=ABC，又ABC=BCD+ADC，

      ACD=BCD+ACB，

      ADC=ACB， BCD≌OAC，BC=OA

      在RtAOH中，OA²=OH²+AH²=m²+(m²)², BC=OA=

      OC=BC-OB=

      C點坐標為（2m-,0）

      方法二：

      如上圖，CA=CD，CAD=CDA

又ACD=ABC， CAB=DAC，

ACB∽ADC，ACB=CDA，CAD=ACB，BC=AB

BC=OA

余下部分同方法一

當DA=CD時，

如下圖，DA=DC，DAC=ACD

ACD=ABC，DAC=ABC，AC=BC

BC=，AC=

在RtACH中，AC²=AH²+CH²

（）²=

 C點坐標為（，0）

探索過程一：

由已知可得，AB//OP，ABC=POM

ACD=POM，ACD=POM=ABC

探索過程二：

若ACD為等腰三角形，則有三種可能，即AC=AD，或CD=CA，或DA=DC

當AC=AD時，ACD=ADC

選擇條件

當m=1時，P點坐標為（-1，1），由平移性質可得，A點坐標為（1，1），

B點坐標為（2，0）

過A點作AHx軸，垂足為H，連結AO，H點坐標為（1，0），AH=1，OH=BH=1，AB=AO，

ABC=AOB=45，OAB=90

由已知可得，OP//AB，ABC=POM

又ACD=POM， ACD=ABC=AOB=45

若ACD為等腰三角形，則有三種可能，即AC=AD，或CD=CA，或DA=DC

當AC=AD時，

如下圖，AC=AD，ACD=ADC

ACD=ABC，ABC=ADC=AOB，

點D與點B重合，點C與點O重合，C點坐標為（0，0）

當CA=CD時，

方法一：

如下圖，CA=CD，CAD=CDA

ACB=AOB+OAC，ACD+DCB=AOB+OAC，

DCB=OAC

又AOB=ABC，BCD≌OAC，BC=OA

在RtAOB中，OB²=OA²+AB²=2OA²，

4=2OA²，OA=

OC=OB-BC=OB-OA=2-，

C點坐標為（2-，0）

方法二：

如上圖，CA=CD，CAD=CDA

又ACD=ABC，CAD=BAC，

ACD∽ABC，CDA=ACB

CAD=ACB，AB=BC

在RtAOB中，OB²=OA²+AB²=2AB²

4=2AB², AB=

BC=,OC=OB-BC=2-

C點坐標為（2-，0）

當DA=DC時，

如下圖，DA=DC，ACD=DAC

平分OAB,又AO=AB，

C是OB中點，

C點坐標為（1，0）

選擇條件

當m=2時，P點坐標為（-2，4），由平移的性質得，A點坐標為（2，4），B點坐標為

（4，0）

連結OA，過A點作AH軸，垂足為H，

H點坐標為（2，0），AH=4，OH=BH=2，

AB=AO，ABC=AOB

由已知可得，OP//AB，ABC=POM，

又ACD=POM，ACD=ABC=AOB

若ACD為等腰三角形，則有三種可能，即AC=AD，或CD=CA，或DA=DC

當AC=AD時，

如下圖，AC=AD，ACD=ADC

 

又ACD=ABC=AOB

ACD=ABC=AOB=ADC

點D與點B重合，點C與點D重合

C點坐標為（0，0）

當CA=CD時，

方法一：

如下圖，CA=CD，CAD=CDA

ABC=ADC+BCD

又ACD=ACD+BCD，ACD=ABC，

ADC=ACB

又ABC=AOB，CBD=AOC，

CBD≌AOC，BC=OA

在RtAOH中，OA²=AH²+OH²=4²+2²=20，BC=OA=

OC=BC-OB=，C點坐標為（，0）

方法二：

如上圖，CA=CD，CAD=CDA，ACD=ABC，

又CAD=BAC，

ACD≌ABC，CDA=ACB，CAD=ACB

AB=BC

在RtABH中，AB²= AH²+BH²=4²+2²=20

BC=AB=

OC=BC-OB=-4，C點坐標為（4-，0）

當DA=DC時，

如上圖，DA=DC. DAC=ACD

ACD=ABC，DAC=ABC

AC=BC

在RtACH中，AC=AH²+CH²

（4-）²=4²+（2-）², x=-1

C點坐標為（-1，0）

附加題：

解：ACD能為等腰三角形，

設C點坐標為（x,-m²）

由上題知，H點坐標為（m，0），AH=m²

設AH延長線交y=-m²于點Q，Q點坐標為（m,- m²）,AQ=2 m^2,

AH=HQ, QN=2BH=2m,

N點坐標為（3m, m²）

由題意知，OB//CN，ABO=ANC

由上題知，POM=ABO，

又ACD=POM，ACD=ANC

若ACD為等腰三角形，則AC=AD，或CD=CA，或DA=DC，

當AC=AD時，

如上圖，AC=AD，ACD=ADC

ADC=ACD=ANC，點D與點N重合，

CQ=QN，CQ=2m,

C點是坐標為（-m,- m²）

當CD=CD時，

如下圖，CD=CA，ADC=CAD

ACD=ANC，CAD=NAC，

ACN∽ADC，ACN=ADC，

CAD=ACN，CN=AN

在RtANQ中，

AN²=AQ²+NQ²=（2m²）²+（2m）²=4m⁴+4m²,

CN=AN=

CE=CN-EN=-3m

C點坐標為（3m-,-m²）

當DA=DC時

如下圖，DA=DC，DAC=ACD

ACD=ANC，ANC=DAC，CN=AC

在RtACQ中，AC²=AQ²+CQ²

（3m-x）²=(2m²)²+(m-x)², x=2m-m³,

C點坐標為（2m-m³，-m²）