Question

如圖，點M是直線y=2x+3上的動點，過點M作MN垂直于x軸于點N，y軸上是否存在點P，使△MNP為等腰直角三角形．小明發現：當動點M運動到（-1，1）時，y軸上存在點P（0，1），此時有MN=MP，能使△NMP為等腰直角三角形．那么，在y軸和直線上是否還存在符合條件的點P和點M呢？請你寫出其它符合條件的點P的坐標______．

Answer 1

當M運動到（-1，1）時，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x軸，所以由ON=MN可知，（0，0）就是符合條件的一個P點；
又當M運動到第三象限時，要MN=MP，且PM⊥MN，
設點M（x，2x+3），則有-x=-（2x+3），
解得x=-3，所以點P坐標為（0，-3）．
如若MN為斜邊時，則∠ONP=45°，所以ON=OP，設點M（x，2x+3），
則有-x=-

1

2

（2x+3），
化簡得-2x=-2x-3，
這方程無解，所以這時不存在符合條件的P點；
又當點M′在第二象限，M′N′為斜邊時，這時N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
設點M′（x，2x+3），則OP=ON′，而OP=

1

2

M′N′，
∴有-x=

1

2

（2x+3），
解得x=-

3

4

，這時點P的坐標為（0，

3

4

）．
因此，其他符合條件的點P坐標是（0，0），（0，

3

4

），（0，-3），（0，1）．
故本題答案為：（0，0），（0，

3

4

），（0，-3）．