Question

如圖，點P在y軸的正半軸上，⊙P交x軸于B、C兩點，以AC為直角邊作等腰Rt△ACD，BD分別交y軸和⊙P于E、F兩點，交連接AC、FC．
（1）求證：∠ACF=∠ADB；
（2）若點A到BD的距離為m，BF+CF=n，求線段CD的長；
（3）當⊙P的大小發生變化而其他條件不變時，

DE

AO

的值是否發生變化？若不發生變化，請求出其值；若發生變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AB，根據線段垂直平分線性質求出AB=AC=AD，推出∠ADB=∠ABD，根據∠ABD=∠ACM求出即可；
（2）過點A作AM⊥CF交CF的延長線于M，過點A作AN⊥BF于N，連接AF，根據AAS證Rt△ABN≌Rt△ACM，推出BN=CM，AN=AM，證Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），推出NF=MF，求出BN長，根據勾股定理和等腰直角三角形性質求出CD的平方，即可求出答案；
（3）過點D作DH⊥AO于N，過點D作DQ⊥BC于Q，根據AAS證Rt△DHA≌Rt△AOC，推出DH=AO，AH=OC，推出DQ=BQ，得出∠DBQ=45°，推出∠HDE=45°，得出等腰直角三角形DHE即可．

解答：（1）證明：連接AB，
∵OP⊥BC，
∴BO=CO，
∴AB=AC，
又∵AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵∠ABD=∠ACF，
∴∠ACF=∠ADB．     
                                    
（2）解：過點A作AM⊥CF交CF的延長線于M，過點A作AN⊥BF于N，連接AF，
則AN=m，
∴∠ANB=∠AMC=90°，
在△ABN和△ACM中

∠ANB=∠AMC ∠ABN=∠ACM AB=AC

，
∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS）
∴BN=CM，AN=AM，
又∵∠ANF=∠AMF=90°，
在Rt△AFN和Rt△AFM中

AN=AM AF=AF

，
∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），
∴NF=MF，
∴BF+CF=BN+NF+CM-MF，
=BN+CM=2BN=n，
∴BN=

n

2

，
∴在Rt△ABN中，AB²=BN²+AN²=m²+(

n

2

)2=m²+

n2

4

，
在Rt△ACD中，CD²=AB²+AC²=2AB²=2m²+

n2

2

，
∴CD=

1

2

8m2+2n2

．                                    

（3）解：

DE

AO

的值不發生變化，
過點D作DH⊥AO于N，過點D作DQ⊥BC于Q，            
∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠OAC=∠ADH，
在△DHA和△AOC中

∠DHA=∠AOC ∠OAC=∠ADH AD=AC

，
∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），
∴DH=AO，AH=OC，
又∵BO=OC，
∴HO=AH+AO=OB+DH，
而DH=OQ，HO=DQ，
∴DQ=OB+OQ=BQ，
∴∠DBQ=45°，
又∵DH∥BC，
∴∠HDE=45°，
∴△DHE為等腰直角三角形，
∴

DE

DH

=

2

，
∴

DE

AO

=

2

．

點評：本題綜合考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，圓周角定理，線段垂直平分線性質等知識點，解（1）小題關鍵是求出∠ABD=∠ADB，解（2）小題的關鍵是求出BN的長，解（3）小題的關鍵是證出等腰直角三角形DEH，此題綜合性比較強，有一定的難度，但題型較好．