Question

如圖，直線與雙曲線交于C、D兩點，與x軸交于點A.

（1）求n的取值范圍和點A的坐標；
（2）過點C作CB⊥y軸，垂足為B，若S _△ABC＝4，求雙曲線的解析式；
（3）在（1）、（2）的條件下，若AB＝，求點C和點D的坐標并根據圖象直接寫出反比例函數的值小于一次函數的值時，自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由圖象得：n+1＜0，解得：n＜－1。
由y=kx+k，令y=0，解得：，∴A坐標為（－1，0）。
（2）設C（a，b），
∵，∴ab=－8。
∵點C在雙曲線上，∴雙曲線的解析式為。
（3）∵CB⊥y軸，∴B（0，b）。
在Rt△AOB中，AB=，OA=1，根據勾股定理得：OB=4。
∴B（0，－4）。∴C（2，－4）。
將C代入直線y=kx+k中，得：2k+k=-4，即。
∴直線AC解析式為。
聯立直線與反比例解析式得：，解得：或。
∴D（－3，）。
則由圖象可得：當x＜－3或0＜x＜2時，反比例函數的值小于一次函數的值。

解析試題分析：（1）由反比例函數圖象位于第二、四象限，得到比例系數小于0列出關于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范圍，對于直線解析式，令y=0求出x的值，確定出A的坐標即可。
（2）設C（a，b），表示出三角形ABC的面積，根據已知的面積列出關于a與b的關系式，利用反比例函數k的幾何意義即可求出k的值，確定出反比例解析式。
（3）由CB垂直于y軸，得到B，C縱坐標相同，即B（0，b），在直角三角形AOB中，由AB與OA的長，利用勾股定理求出OB的長，確定出B坐標，進而確定出C坐標，將C代入直線解析式求出k的值，確定出一次函數解析式，與反比例解析式聯立求出D的坐標，由C，D兩點的橫坐標，利用圖象即可求出反比例函數的值小于一次函數的值時，自變量x的取值范圍。