Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊上一點（不與點B、C重合），以AD為邊在AD的右側作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE，設∠BAC＝α，∠BCE＝β．

（1）線段BD、CE的數量關系是________；并說明理由；

（2）探究：當點D在BC邊上移動時，α，β之間有怎樣的數量關系?請說明理由；

（3)如圖2，若∠BAC＝90°，CE與BA的延長線交于點F.求證：EF＝DC.

Answer 1

【答案】（1）BD=CE，理由見解析；（2）α+β=180°，理由見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）首先求出∠BAD=∠CAE，再利用SAS得出△ABD≌△ACE即可得BD=CE；

（2）利用△ABD≌△ACE，推出∠BAC+∠BCE=180°，根據三角形內角和定理求出即可；

（3）利用△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，由∠BAC＝90°，AB＝AC得∠B=∠ACE=∠ACB=45°，可證出△BCF是等腰直角三角形，則BC=FC，即可得出結論.

（1）BD=CE.

證明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中，

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE；

（2）α+β=180°
理由：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，
即α+β=180°；

（3）∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，BD=CE，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B=∠ACE=∠ACB=45°，

∴△BCF是等腰直角三角形，

∴BC=FC，

∴BC-BD=FC-CE，即EF＝DC.

故答案為：（1）BD=CE，理由見解析；（2）α+β=180°，理由見解析；（3）見解析．