Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F是對角線AC上的兩個動點，分別從A、C同時出發(fā)，相向而行，速度均為2cm/s，運(yùn)動時間為t（0≤t≤5）秒．

（1）若G、H分別是AB、DC的中點，且t≠2.5s，求證：以E、G、F、H為頂點的四邊形始終是平行四邊形；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)t為何值時？以E、G、F、H為頂點的四邊形是矩形；

（3）若G、H分別是折線A-B-C，C-D-A上的動點，分別從A、C開始，與E．F相同的速度同時出發(fā)，當(dāng)t為何值時，以E、G、F、H為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)t為4.5秒或0.5秒時，四邊形EGFH是矩形；（3）t為秒時，四邊形EGFH是菱形．

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理求出AC，證明△AFG≌△CEH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GF=HE，利用內(nèi)錯角相等得GF∥HE，根據(jù)平行四邊形的判定可得結(jié)論；

（2）如圖1，連接GH，分AC-AE-CF=8．AE+CF-AC=8兩種情況，列方程計算即可；

（3）連接AG．CH，判定四邊形AGCH是菱形，得到AG=CG，根據(jù)勾股定理求出BG，得到AB+BG的長，根據(jù)題意解答．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，

∴∠BAC=∠DCA，

∵AB=6cm，BC=8cm，

∴AC=10cm，

∵G、H分別是AB、DC的中點，

∴AG=AB，CH=CD，

∴AG=CH，

∵E、F是對角線AC上的兩個動點，分別從A、C同時出發(fā)，相向而行，速度均為2cm/s，

∴AE=CF，

∴AF=CE，

∴△AGF≌△CHE（SAS），

∴GF=HE，∠AFG=∠CEH，

∴GF∥HE，

∴以E、G、F、H為頂點的四邊形始終是平行四邊形；

（2）如圖1，連接GH，由（1）可知四邊形EGFH是平行四邊形，

∵G、H分別是AB．DC的中點，

∴GH=BC=8cm，

∴當(dāng)EF=GH=8cm時，四邊形EGFH是矩形，分兩種情況：

①若AE=CF=2t，則EF=10-4t=8，解得：t=0.5，

②若AE=CF=2t，則EF=2t+2t-10=8，解得：t=4.5，

即當(dāng)t為4.5秒或0.5秒時，四邊形EGFH是矩形；

（3）如圖2，連接AG、CH，

∵四邊形GEHF是菱形，

∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，

∵AF=CE

∴OA=OC，

∴四邊形AGCH是菱形，

∴AG=CG，

設(shè)AG=CG=x，則BG=8-x，

由勾股定理得：AB2+BG2=AG2，

即62+（8-x）2=x2，解得：x=，

∴BG=8-=，

∴AB+BG=6+=，

t=÷2=，

即t為秒時，四邊形EGFH是菱形．