Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點，為軸負半軸上一點，點為軸正半軸上一點，其中滿足方程．

（1）求點、的坐標；

（2）點為軸負半軸上一點，且的面積為，求點的坐標；

（3）在上是否存在一點，使的面積等于的面積的一半，若存在，求出相應的點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A坐標為（-3，0），點B坐標為（0，4）；（2）點C坐標為（0，-4）；（3）存在，點P坐標為（，0）或（-，0）．

【解析】

（1）解方程可求出b的值，即可得A、B坐標；

（2）根據A、B坐標可得OA、OB的長，利用三角形面積公式可求出BC的長，根據點C在y軸負半軸可得OC的長，可得C點坐標；

（3）利用三角形面積公式可求出OP的長，分點P在原點左邊和右邊兩種情況，求出OP的坐標即可．

（1）∵，

∴b=1，

∵，，

∴點A坐標為（-3，0），點B坐標為（0，4）．

（2）如圖，∵A（-3，0），B（0，4），

∴OA=3，OB=4，

∵△ABC的面積為12，

∴BC·OA=12，即×3×BC=12，

解得：BC=8，

∵點為軸負半軸上一點，

∴OC=BC-OB=8-4=4，

∴點C坐標為（0，-4）．

（3）如圖，∵的面積等于的面積的一半，△ABC的面積為12，

∴△PBC的面積為6，

∴BC·OP=6，即×8×OP=6，

解得：OP=，

當點P在原點左邊時，點P坐標為（-，0），

當點P在原點右邊時，點P坐標為（，0），

∴存在一點，使的面積等于的面積的一半，點P坐標為（，0）或（-，0）．