Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是直徑，OD⊥BC于點D，延長DO交⊙O于F，連接OC，AF．

（1）求證：△COD≌△BOD；

（2）填空：①當∠1＝　 時，四邊形OCAF是菱形；

②當∠1＝　 時，AB＝2OD．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①當∠1＝30°時，四邊形OCAF是菱形．②當∠1＝45°時，AB＝OD理由見解析.

【解析】

（1）由SSS即可證出結論；

（2）①要四邊形OCAF是菱形，需OC＝CA＝AF＝OF，即△AOC為等腰三角形，∠2＝60°，那么∠1＝30°；

②由等腰直角三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴OC＝OB，

∵OD⊥BC于點D，

∴CD＝BD，

在△CDO和△BDO中，

∴△CDO≌△BDO（SSS）；

（2）解：當∠1＝30°時，四邊形OCAF是菱形．

理由如下：

∵∠1＝30°，AB是直徑，

∴∠BCA＝90°，

∴∠2＝60°，而OC＝OA，

∴△OAC是等邊三角形，

∴OA＝OC＝CA，

又∵D，O分別是BC，BA的中點，

∴DO∥CA，

∴∠2＝∠3＝60°而OC＝OA＝AF．

∴△OAF是等邊三角形，

∴AF＝OA＝OF，

∴OC＝CA＝AF＝OF，

∴四邊形OCAF是菱形；

②當∠1＝45°時，

∵∠1＝45°，

∵OD⊥BC于點D，

∴△BOD是等腰直角三角形，

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