Question

【題目】如圖(1)，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t(s)．

(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；

(2)如圖(2)，將圖(1)中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為x cm/s，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）全等，PC⊥PQ，理由參見解析；（2）存在，t=1，x="1" 或t=2，x=．

【解析】試題分析：（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結論即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

試題解析：（1）當t=1時，AP=BQ=1，∵AB＝4cm，∴BP=AC=3，又因為∠A=∠B=90°，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即線段PC與線段PQ垂直；（2）設點Q的運動速度為x cm/s，則BQ=tx，分兩種情況：①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，所以3=4-t，t=xt，解得：t=1，x=1；②若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，所以3=xt，t=4-t，解得：t=2，x=．綜上所述，存在這樣的實數x，使得△ACP與△BPQ全等，此時相應的x、t的值為t=1，x="1" 或t=2，x=．