Question

【題目】點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，以為斜邊作等腰，連接，在外側(cè)，以為斜邊作等腰，連接．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)：

①求證：；

②判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是否保持不變？

對(duì)于以上問題，小牧同學(xué)通過觀察、實(shí)驗(yàn)，形成了解決該問題的幾種思路：

想法1：嘗試將點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，過點(diǎn)D作線段垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接；通過證明解決以上問題；

想法2：嘗試將點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，過點(diǎn)D作線段垂線，垂足為點(diǎn)G，連接．通過證明解決以上問題；

想法3：嘗試?yán)�用四點(diǎn)共圓，過點(diǎn)D作垂線段，連接，通過證明D、F、B、E四點(diǎn)共圓，利用圓的相關(guān)知識(shí)解決以上問題．

請(qǐng)你參考上面的想法，證明（一種方法即可）．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②，證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）①如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的三線合一得出是斜邊AC上的中線，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，最后根據(jù)等量代換即可得證；

②先結(jié)合①的結(jié)論、等腰直角三角形的性質(zhì)，，，再根據(jù)角的和差、直角三角形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)得出，由此即可證出；

（2）想法1：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角的和差得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證；

想法2：先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、角的和差得出，，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，從而可得平分，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得是的垂直平分線，最后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等量代換即可得證；

想法3：先根據(jù)垂直的定義、等腰直角三角形的定義得出，，從而可得，由此可證出D、F、B、E四點(diǎn)共圓，再根據(jù)圓周角定理可得，然后同想法2的方法即可得證．

（1）①過點(diǎn)D作于F

是等腰三角形

是斜邊AC上的中線（等腰三角形的三線合一）

；

②，證明如下：

等腰與等腰中

，，

是等邊三角形

；

（2）想法1：如圖，過點(diǎn)D作線段垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接

是等腰直角三角形

，，

，即

是等腰直角三角形

，即

在和中，

是直角三角形

點(diǎn)E是BG的中點(diǎn)，即CE是斜邊BG上的中線

；

想法2：如圖，過點(diǎn)D作線段垂線，垂足為點(diǎn)G，連接

是等腰直角三角形

，，，

是等腰直角三角形

，即

是等腰直角三角形

，，，即

在和中，

平分

是等腰直角三角形

是的垂直平分線（等腰三角形的三線合一）

即；

想法3：如圖，過點(diǎn)D作垂線段，連接

是等腰直角三角形

，，

D、F、B、E四點(diǎn)共圓

同想法2可證：是的垂直平分線

即．