Question

【題目】如圖，點A在線段BD上，在BD的同側作等腰和等腰，其中，CD與BE、AE分別交于點P、對于下列結論：

∽；；；．

其中正確的是　　

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據兩個三角形的兩角相等證明相似三角形；

②根據兩個三角形的兩邊比值相等證明△BAE∽△CAD即可的CD與BE的比值；

③根據△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，再根據△PME∽△AMD，得MPMD=MAME；

④根據△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，再根據MPMD=MAME得△PMA∽△EMD，又因為∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，所以△APC∽△MAC，則AC2=MCPC，再根據AC=BC，得2CB2=CPCM.

解：①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，

所以∠CAM=90°，

又因為∠CMA=∠DME（對頂角），∠AED=∠CAM=90°，

所以△CAM∽△DEM，故①正確.

②在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，AC=AB，AD=AE，

所以∠CAB+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，

又因為=，所以△BAE∽△CAD.

則CD=BE，故②正確.

③由②中△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，

又因為∠BEA=∠AMD，所以△PME∽△AMD，

所以=，即MPMD=MAME，故③正確.

④，由③中△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，

因為MPMD=MAME，所以=，所以△PMA∽△EMD，

所以∠APM=∠DEM=90°，

因為∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，

所以△APC∽△MAC，

所以=，即AC2=MCPC，

又因為AC=BC，

所以2CB2=CPCM，故④正確.

故選：D.