Question

如圖，⊙P與⊙Q外切于點N，經過點N的直線AB交⊙P于A，交⊙Q于B，以經過⊙P的直徑AC所在直線為y軸，經過點B的直線為x軸，建立直角坐標系．
（1）求證：OB是⊙Q的切線；
（2）如果OC=CP=PA=2，⊙Q在始終保持與⊙P外切、與x軸相切的情況下運動，設點Q的坐標為（x，y），試求y與x之間的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，設M是所求函數圖象上的任意一點，過點M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，連接PE、PM．問是否存在△PEO與△PMF相似？若存在，求出ME的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先作輔助線：連接PQ、QB，則PQ過點N，即可得：∠PAN=∠PNA=∠QNB=∠QBN，則可證得：QB∥AO，又由A0⊥OB，證得：QB⊥OB，則問題得證；
（2）作QD⊥y軸，在Rt△PDQ中，利用勾股定理即可求得y與x之間的函數關系式；
（3）由∠POE=∠PFM=90°，可知要使△PE0與△PMF相似，只要

PF

FM

=

PO

OE

或

PF

FM

=

OE

PO

即可，分別從這兩方面去求解即可求得ME的長．

解答：（1）證明：連接PQ、QB，則PQ過點N，
∵PA=PN，QN=QB，
∴∠PAN=∠PNA=∠QNB=∠QBN，
∴QB∥AO．
又A0⊥OB，
∴QB⊥OB．
又QB是半徑，
∴OB是⊙Q的切線．

（2）解：作QD⊥y軸，垂足為D．
則PD=|4-y|，QD=|x|，PQ=|2+y|，
在Rt△PDQ中，PD²+DQ²=PQ²，
∴|4-y|²+|x|²=|2+y|²，
∴y=

1

12

x2+1；

（3）解：設點M的坐標為（a、b），則a≠O，b＞1．
PF=|b-4|，FM=OE=|a|．
∵∠POE=∠PFM=90°，
∴要使△PE0與△PMF相似，只要

PF

FM

=

PO

OE

或

PF

FM

=

OE

PO

即可．
由

PF

FM

=

PO

OE

得：

|b-4|

|a|

=

4

|a|

，
∴|b-4|=4，即b-4=±4，
∴b₁=8，b₂=O（不合題意，舍去），即ME=8．
由

PF

FM

=

OE

PO

，得：

|b-4|

|a|

=

|a|

4

，
∴a²=4|b-4|，
又b=

1

12

a2+1，a²=12b-12，
∴12b-12=4|b-4|．
即3b-3=|b-4|，
∴b1=

-1

2

（不合題意，舍去），b2=

7

4

，
∴ME=

7

4

．
所以，存在△PEO與△PMF相似，這時ME的長為8或

7

4

．

點評：此題考查了圓的性質，切線的判定以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，圖形也很復雜，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用與輔助線的添加方法．