Question

【題目】教材呈現：下圖是華師版八年級上冊數學教材第94頁的部分內容．

請根據教材中的分析，結合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質定理”完整的證明過程．

定理應用：

（1）如圖②，在中，直線分別是邊AB、BC、AC的垂直平分線．求證：直線交于點．

（2）如圖③，在中，，邊AB的垂直平分線交AC于點D、邊BC的垂直平分線交AC于點E．若，，則DE的長為___________．

Answer 1

【答案】教材呈現：證明見解析；定理應用：（1）證明見解析；（2）6．

【解析】

教材呈現：如圖①中，證明△PAC≌△PBC即可解決問題；

定理應用：（1）如圖②中，連結AO、BO、CO．利用線段的垂直平分線的判定和性質解決問題即可；

（2）連接BD，BE，證明△BDE是等邊三角形即可．

教材呈現：

∵MN⊥AB，

∴

又∵，

∴△PAC≌△PBC，

∴

定理應用：

（1）連結AO、BO、CO．

設直線l、m交于點O．

∵直線l是邊AB的垂直平分線，

∴

又∵直線m是邊BC的垂直平分線，

∴，

∴，

∴點O在邊AC的垂直平分線n上，

∴直線l、m、n交于點O．

（2）如圖③中，連接BD，BE．

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠C＝30°，

∵邊AB的垂直平分線交AC于點D，邊BC的垂直平分線交AC于點E，

∴DA＝DB，EB＝EC，

∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，

∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，

∴△BDE是等邊三角形，

∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，

∵AC＝18＝AD+DE+EC＝3DE，

∴DE＝6，

故答案為：6．