Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于 MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數是（ ）
①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3．

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：

①根據作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．
故①正確；
②如圖，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正確；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點D在AB的中垂線上．
故③正確；
④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD= AD，
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= ACCD= ACAD．
∴S△ABC= ACBC= AC AD= ACAD，
∴S△DAC：S△ABC= ACAD： ACAD=1：3．
故④正確．
綜上所述，正確的結論是：①②③④，共有4個．
故選D．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用角平分線的性質定理和線段垂直平分線的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．