Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，點D在AC上，CD=3厘米．點P、Q分別由A、C兩點同時出發，點P沿AC方向向點C勻速移動，速度為每秒k厘米，行完AC全程用時8秒；點Q沿CB方向向點B勻速移動，速度為每秒1厘米．設運動的時間為x秒（0＜x＜8）DCQ的面積為y₁平方厘米，△PCQ的面積為y₂平方厘米．
（1）求y₁與x的函數關系，并在圖2中畫出y₁的圖象；
（2）如圖2，y₂的圖象是拋物線的一部分，其頂點坐標是（4，12），求AC的長；
（3）在圖2中，點G是x軸正半軸上一點，且0＜OG＜4，過G作EF垂直于x軸，分別交y₁、y₂的圖象于點E、F．
①說出線段EF的長在圖1中所表示的實際意義；
②線段EF長有可能等于3嗎？若能，請求出相應的x的值，若不能請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據∠C=90°，利用直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半列式整理即可得解，再利用兩點法畫出函數圖象即可；
（2）根據x=4表示出AP、PC、CQ的長，再根據△PCQ的面積列式求解即可得到k的值，然后根據AC=8k計算即可得解；
（3）①根據函數值y表示出兩個三角形的面積，EF表示兩個三角形的面積的差；
②根據k值求出y₂與x的關系式，然后表示出EF，再令EF=3，解關于x的方程即可．

解答：解：（1）∵∠C=90°，
∴S_△DCQ=

1

2

•CQ•CD=

1

2

×3x=

3

2

x，
∴y₁=

3

2

x，
圖象如圖所示；

（2）∵拋物線的頂點坐標是（4，12），
∴當x=4時，△PCQ面積為12，
此時，AP=4k，
PC=AC-AP=8k-4k=4k，
CQ=4，
∴S_△PCQ=

1

2

CQ•PC=12，
即

1

2

×4×4k=12，
解得k=

3

2

，
所以，點P的速度每秒

3

2

厘米，
所以，AC=8×

3

2

=12厘米；


（3）①觀察圖象，知線段的長EF=y₂-y₁，
表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ面積）；
②y₂=

1

2

PC•CQ=

1

2

（12-

3

2

x）•x=-

3

4

x²+6x，
∵EF=y₂-y₁，
∴EF=-

3

4

x²+6x-

3

2

x=-

3

4

x²+

9

2

x，
假設EF=3，則-

3

4

x²+

9

2

x=3，
整理得，x²-6x+4=0，
解得x₁=3+

5

，x₂=3-

5

，
∵0＜OG＜4，
∴0＜x＜4，
∴x=3-

5

，
故當x=3-

5

時，EF=3．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了三角形的面積，作一次函數的圖象，二次函數的性質，以及函數圖象上平行于y軸的兩點間的距離的表示方法，綜合題，但難度不大，理清點P、Q的運動過程中兩個三角形的直角邊的表示是解題的關鍵．