Question

（2004•泰安）如圖，在△ABC中，AB=3，BC=2

2

，∠B=45°，在BC邊上有一動點M，過M作MN∥AC，交AB于點N，連接AM，設CM=x（0＜x＜2

2

 ），△AMN的面積為S．
（1）求S與x之間的函數關系式；
（2）是否存在點M，使△AMN的面積等于4？若存在，求出CM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接CN．MN平行AC，根據等底等高的三角形面積相等可得到S_△CMN=S_△AMN，利用相似三角形的性質可得到BN的長，作NH垂直BM于H，解直角三角形BNH可求出NH的長，繼而求出S與x之間的函數關系式；
（2）不存在點M，使△AMN的面積等于4，設三角形AMN的面積為4，由（1）的函數關系可得一元二次方程無解，所以假設不成立．

解答：解：（1）連接CN．
∵MN∥AC，
∴S_△CMN=S_△AMN，
∵CM=x，則BM=2

2

-x，
∴△BMN∽BCA，
∴

BM

BC

=

BN

BA

，
∴

2 2 -x

2 2

=

BN

3

，
∴BN=

6 2 -3x

2 2

，
作NH垂直BM于H，
∵∠B=45度，
∴NH=

2

2

BN=

6 2 -3x

4

，
∴S=

1

2

CM•NH

6 2 x-3x2

8

；

（2）令S_△AMN=4，即4=

6 2 x-3x2

8

，
判別式b²-4ac＜0，方程無解．
故不存在點M，使△AMN的面積等于4．

點評：本題考查了相似三角形的判定、解直角三角形的有關知識、三角形的面積公式運用以及一元二次方程解的存在性問題，題目的綜合性強，計算量大．