Question

已知關于的方程x²+ax+b=0（b≠0）與x²+cx+d=0都有實數根，若這兩個方程有且只有一個公共根，且ab=cd，則稱它們互為“同根輪換方程”．如x²-x-6=0與x²-2x-3=0互為“同根輪換方程”．
（1）若關于x的方程x²+4x+m=0與x²-6x+n=0互為“同根輪換方程”，求m的值；
（2）若p是關于x的方程x²+ax+b=0（b≠0）的實數根，q是關于x的方程x2+2ax+

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2

b=0的實數根，當p、q分別取何值時，方程x²+ax+b=0（b≠0）與x2+2ax+

1

2

b=0互為“同根輪換方程”，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據方程x²+4x+m=0與x²-6x+n=0互為“同根輪換方程”，得到m、n之間的關系為4m=-6n．然后設t是公共根，則有t²+4t+m=0，t²-6t+n=0．
解得，t=

n-m

10

． 從而利用（-

m

6

）²+4（-

m

6

）+m=0，求得m=-12；
（2）根據x²-x-6=0與x²-2x-3=0互為“同根輪換方程”，得到它們的公共根是3，從而得到當p=q=-3a時，有9a²-3a²+b=0．解得，b=-6a²．解得，p=-3a，x₁=2a；q=-3a，x₂=a，從而證得方程x²+ax+b=0（b≠0）與x²+2ax+

1

2

b=0互為“同根輪換方程”．

解答：解：（1）∵方程x²+4x+m=0與x²-6x+n=0互為“同根輪換方程”，
∴4m=-6n．                       
設t是公共根，則有t²+4t+m=0，t²-6t+n=0．
解得，t=

n-m

10

．                    
∵4m=-6n．∴t=-

m

6

．         
∴（-

m

6

）²+4（-

m

6

）+m=0．
∴m=-12．                          

（2）∵x²-x-6=0與x²-2x-3=0互為“同根輪換方程”，
它們的公共根是3．                    
而 3=（-3）×（-1）=-3×（-1）．
又∵x²+x-6=0與x²+2x-3=0互為“同根輪換方程”．
它們的公共根是-3．
而-3=-3×1．
∴當p=q=-3a時，
有9a²-3a²+b=0．
解得，b=-6a²．
∴x²+ax-6a²=0，x²+2ax-3a²=0．
解得，p=-3a，x₁=2a；q=-3a，x₂=a．
∵b≠0，∴-6a²≠0，∴a≠0．
∴2a≠a．即x₁≠x₂．                    
又∵2a×

1

2

b=ab，…（6分）
∴方程x²+ax+b=0（b≠0）與x²+2ax+

1

2

b=0互為“同根輪換方程”．

點評：本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是了解“同根輪換方程的定義”．