Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8．

（1）如圖①若E從B到C運動，F從D到A運動且BE＝2DF，

（ i）當DF為何值時四邊形ECDF是矩形．

（ ii）當DF為何值時EF＝2．

（2）如圖②E在BC上，BE＝3，F在CD上，將△ECF沿EF折疊，當C點恰好落在AD邊上的G處時，求折痕EF的長．

Answer 1

【答案】（1）（i）DF＝；（ii）DF＝2或；（2）EF＝．

【解析】

（1）（i）設DF＝m，BE＝2m，則EC＝8﹣2m，由矩形的性質可得DF＝EC，由此可得方程m＝8﹣2m，解方程即可求得m的值；（ii）分點E在點F的左邊和點F在點E的左邊兩種情況求解；（2）過E作EH⊥AD于H，即可得BE＝AH＝3，EC＝5，由折疊的性質可得EG＝EC＝5，GF＝CF，由勾股定理求得HG＝3，即可得GD＝2，設GF＝FC＝x，則DF＝4﹣x，在Rt△GDF中，根據勾股定理可得22+（4﹣x）2＝x2，解方程求得x的值，即可得FC的長，再利用勾股定理求得EF的長即可.

（1）（i）設DF＝m，BE＝2m，則EC＝8﹣2m，

由矩形的性質：DF＝EC，

∴m＝8﹣2m

∴

∴；

（ ii）如圖（1）過F作FM⊥BC于M，

∴FM＝AB＝4，EF＝ ，

∴勾股定理得 ，

∴BM+MC＝2m+2+m＝8，

∴m＝2；

如圖（2）過E作FN⊥BC于N，

同理可得NE＝2，

∴BN+NC＝2m﹣2+m＝8，m=，

∴DF＝2或；

（2）過E作EH⊥AD于H，

∵BE＝AH＝3，

∴EC＝5，

由折疊的性質EG＝EC＝5，GF＝CF，

∵HE＝AB＝4，

∴，

∴GD＝AD﹣AH﹣HG＝2，

設GF＝FC＝x，則DF＝4﹣x，

在Rt△GDF中，GD2+DF2＝GF2

∴22+（4﹣x）2＝x2

解得 　，即，

∴ ．