Question

四邊形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如圖所示的平面直角坐標系中，A（4，0），B（3，2），點M從O點出發沿折線段OA-AB以每秒2個單位長的速度向終點B運動；同時，點N從B點出發沿折線段BC-CO以每秒1個單位長的速度向終點O運動、設運動時間為t秒．
（1）當點M運動到A點時，N點距原點O的距離是多少？當點M運動到AB上（不含A點）時，連接MN，t為何值時能使四邊形BCNM為梯形？
（2）0≤t＜2時，過點N作NP⊥x軸于P點，連接AC交NP于Q，連接MQ
①求△AMQ的面積S與時間t的函數關系式（不必寫出t的取值范圍）
②當t取何值時，△AMQ的面積最大？最大值為多少？
③當△AMQ的面積達到最大時，其是否為等腰三角形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）經分析，點M運動到A點時，N運動到C點，求得OC的長即可．若四邊形BCNM為梯形在，則NC=BM，列出關于t的方程求解即可．
（2）△AMQ的面積S=

1

2

×MA×PQ，應先求出Q點坐標，Q點橫坐標為3-t，縱坐標可由

PA

CN

=

PQ

NQ

求得，根據列出的函數關系式，求得最大值．

解答：解：（1）四邊形OABC是等腰梯形，則C（1，2），點M運動到A點時，N運動到C點，ON=OC=

5

；
若四邊形BCNM為梯形，則NC=BM，t-2=

5

-2（t-2），解得：t=

6+ 5

3

．

（2）①由于點M以每秒2個單位長的速度向終點B運動，點N以每秒1個單位長的速度向終點O運動，
則點Q橫坐標為3-t，縱坐標由

PA

CN

=

PQ

NQ

求得：縱坐標為

2

3

（t+1），
s=

1

2

×MA×PQ=

1

2

×（4-2t）×

2

3

（t+1）=-

2

3

t²+

2

3

t+

4

3

．
②當t=

1

2

時，最大值是

3

2

．
③是，t=

1

2

，PM=3-t-2t=

3

2

，PA=4-（3-t）=

3

2

，
則PM=PA，故△AMQ為等腰三角形．

點評：本題考查了通過動點運動列出函數關系式，并求得最值，綜合性強．