Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．

（1）求證：BE=CE；

（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

Answer 1

【答案】（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BAE=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ACE全等，再根據全等三角形對應邊相等證明即可。

（2）先判定△ABF為等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的兩直角邊相等可得AF=BF，再根據同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等即可。

【解析】

（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BAE=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ACE全等，再根據全等三角形對應邊相等證明即可。

（2）先判定△ABF為等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的兩直角邊相等可得AF=BF，再根據同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等即可。

證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點，∴∠BAE=∠EAC。

在△ABE和△ACE中，∵，

∴△ABE≌△ACE（SAS）。∴BE=CE。

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，∴△ABF為等腰直角三角形。∴AF=BF。

∵AB=AC，點D是BC的中點，∴AD⊥BC。∴∠EAF+∠C=90°。

∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°。∴∠EAF=∠CBF。

在△AEF和△BCF中，∵，

∴△AEF≌△BCF（ASA）。