Question

【題目】矩形中，為中點、為中點，為延長線上一點，連接并延長交與點，連接，求證：．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

設AC、EF相交于點K，延長FH與DA的延長線相交于點M，延長GH與AD相交于點N，求出△AMH和△KFH相似，根據相似三角形對應邊成比例可得=，求出△ANH和△KEH相似，根據相似三角形對應邊成比例可得=，然后求出AM=AN，再利用“角邊角”證明△AEN和△BEG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=BG，然后求出DM=CG，再利用“邊角邊”證明△DFM和△CFG全等，根據全等三角形對應角相等可得∠M=∠CGF，然后根據平行線的性質可得∠HFE=∠M，∠EFG=∠CGF，再等量代換即可得證．

證明：如圖，設、相交于點，延長與的延長線相交于點，延長與相交于點，

∵為中點、為中點，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

∵為中點、為中點，是對角線，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴．