Question

【題目】十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中項點數(V)、面數(F)、棱數(E)之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式。請你觀察下列兒種簡單多面體模型，解答下列問題:

(1)根據上面多面體模型，完成表格中的空格:

多面體	項點數(V)	面數(F)	棱數(F)
四面體
長方體
正八面體
正十二面體

你發現項點數(V)、面數(F)、棱數(F)之間存在的關系式是__________________________.

（2）一個多面體的面數比頂點數小8，且有30條棱，則這多面體的頂點數是 20；
（3）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有48個頂點，每個頂點處都有3條棱，設該多面體表面三角形的個數為x個，八邊形的個數為y個，求x+y的值．

Answer 1

【答案】(1) 見解析，V+F-E=2；(2) 20；(3)26

【解析】

（1）觀察表格可以看出：頂點數+面數-棱數=2，關系式為：V+F-E=2；
（2）代入（1）中公式進行計算；
（3）根據歐拉公式可得頂點數+面數-棱數=2，然后表示出棱數，進而可得面數．

解：（1）根據題意得如下圖

多面體	頂點數(V)	面數(F)	棱數(E)
四面體	4	4	6
長方體	8	6	12
正八面體	6	8	12
正十二面體	20	12	30

∵4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，
∴頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是V+F-E=2；
（2）由（1）可知：V+F-E=2，
∵一個多面體的面數比頂點數小8，且有30條棱，
∴V+V-8-30=2，即V=20；
（3）∵有48個頂點，每個頂點處都有3條棱，兩點確定一條直線；
∴共有48×3÷2=72條棱，
設總面數為F，
48+F-72=2，
解得F=26，
∴x+y=26．