Question

【題目】如圖①，直線AB與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，OA、OB的長度分別為a和b，且滿足a2﹣2ab+b2=0．

（1）判斷△AOB的形狀；

（2）如圖②，△COB和△AOB關于y軸對稱，D點在AB上，點E在BC上，且AD=BE，試問：線段OD、OE是否存在某種確定的數量關系和位置關系？寫出你的結論并證明；

（3）將（2）中∠DOE繞點O旋轉，使D、E分別落在AB，BC延長線上（如圖③），∠BDE與∠COE有何關系？直接說出結論，不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△AOB為等腰直角三角形；（2）OD⊥OE；（3）∠BDE與∠COE互余．

【解析】

試題分析：（1）根據a2﹣2ab+b2=0，可得a=b，又由∠AOB=90°，所以可得出△AOB的形狀；

（2）OD=OE，OD⊥OE，通過證明△OAD≌△OBE可以得證；

（3）由∠DEB+∠BEO=45°，∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，得出∠DEB=∠COE，根據三角形外角的性質得出∠ABC=∠BDE+∠DEB=90°，從而得出∠BDE+∠COE=90°，所以∠BDE與∠COE互余．

解：（1）∵a2﹣2ab+b2=0．

∴（a﹣b）2=0，

∴a=b，

又∵∠AOB=90°，

∴△AOB為等腰直角三角形；

（2）OD=OE，OD⊥OE，理由如下：

如圖 ②，∵△AOB為等腰直角三角形，

∴AB=BC，

∵BO⊥AC，

∴∠DAO=∠EBO=45°，BO=AO，

在△OAD和△OBE中，

，

△OAD≌△OBE（SAS），

∴OD=OE，∠AOD=∠BOE，

∵∠AOD+∠DOB=90°，

∴∠DOB+∠BOE=90°，

∴OD⊥OE；

（3）∠BDE與∠COE互余，理由如下：

如圖③，∵OD=OE，OD⊥OE，

∴△DOE是等腰直角三角形，

∴∠DEO=45°，

∴∠DEB+∠BEO=45°，

∵∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，

∴∠DEB=∠COE，

∵∠ABC=∠BDE+∠DEB=90°，

∴∠BDE+∠COE=90°

∴∠BDE與∠COE互余．