Question

已知二次函數與x軸交于A（1,0）、B（3,0）兩點；二次函數的頂點為P.
（1）請直接寫出：b=_______，c=___________；
（2）當∠APB=90°，求實數k的值;
（3）若直線與拋物線L₂交于E，F兩點，問線段EF的長度是否發生變化？如果不發生變化，請求出EF的長度；如果發生變化，請說明理由.

Answer 1

（1）8，；（2）；（3）線段EF的長度不變化，8.

試題分析：（1）將A（1,0）、B（3,0）代入得.
（2）確定二拋物線的對稱軸重合，從而得到△APB為等腰直角三角形，且點P為直角頂點，一方面根據等腰直角三角形求得到，另一方面根據點P為的頂點得到，二者聯立求解即可.
（3）聯立直線和拋物線的解析式，求出E、F兩點的坐標，然后判斷EF是否為定值．
（1）8， .
（2）∵在二次函數中，對稱軸為；在二次函數中，對稱軸為，
∴點P也在的對稱軸上.
∴AP=BP.
∵∠APB=90°
∴△APB為等腰直角三角形，且點P為直角頂點.
∴，解得.
∵點P為的頂點，
∴.
∴，解得.
（3）判斷：線段EF的長度不變化.
由題意得，
解得 ，
∴EF=.
∴線段EF的長度不變化.