Question

【題目】如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為3，過AB邊上一點P作PE AC于點E，Q為BC延長線上一點，取PA=CQ，連接PQ，交AC于M，則EM的長為.

Answer 1

【答案】
【解析】過P作PF∥BC交AC于F，如圖，

∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，
∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等邊三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFM和△QCM中
，
∴△PFM≌△QCM，
∴FM=CM，
∵AE=EF，
∴EF+FM=AE+CM，
∴AE+CM=ME= AC，
∵AC=3，
∴ME= .
故答案為： .
過P作PF∥BC交AC于F，易證△APF是等邊三角形，得出AP=PF=AF，根據等腰三角形三線合一的性質得出AE=EF，再根據已知證明PF=CQ，然后證明△PFM≌△QCM，得出FM=CM，根據EF+FM=AE+CM=AC，由AC=3，就可求得ME的長。