Question

【題目】有一張矩形紙片ABCD，，．

如圖1，點E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設為點M，N分別在邊AD，BC上，利用直尺和圓規畫出折痕不寫作法，保留作圖痕跡；

如圖2，點K在這張矩形紙片的邊AD上，，將紙片折疊，使AB落在CK所在直線上，折痕為HI，點A，B分別落在點，處，小明認為所在直線恰好經過點D，他的判斷是否正確，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)小明的判斷不正確，理由見解析.

【解析】

（1）延長BA交CE的延長線由G，作∠BGC的角平分線交AD于M，交BC于N，直線MN即為所求；

（2）由△CDK∽△IB′C，推出，設CB′＝3k，IB′＝4k，IC＝5k，由折疊可知，IB＝IB′＝4k，可知BC＝BI+IC＝4k+5k＝9，推出k＝1，推出IC＝5，IB′＝4，B′C＝3，在Rt△ICB′中，tan∠B′IC＝，連接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC＝，由此即可判斷tan∠B′IC≠tan∠DIC，推出B′I所在的直線不經過點D．

(1)如圖1所示直線MN即為所求；

(2)小明的判斷不正確，理由如下：

如圖2，連接ID，

在Rt△CDK中，∵DK＝3，CD＝4，

∴CK＝＝5，

∵AD∥BC，

∴∠DKC＝∠ICK，

由折疊可知，∠A′B′I＝∠B＝90°，

∴∠IB′C＝90°＝∠D，

∴△CDK∽△IB′C，

∴，

即，

設CB′＝3k，IB′＝4k，IC＝5k，

由折疊可知，IB＝IB′＝4k，

∴BC＝BI+IC＝4k+5k＝9，

∴k＝1，

∴IC＝5，IB′＝4，B′C＝3，

在Rt△ICB′中，tan∠B′IC＝，

連接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC＝，

∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，

∴B′I所在的直線不經過點D．