Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BC= ，AD= ，CD=12，過AB的中點E作AB的垂線交BC的延長線于F．
（1）求BF的長；
（2）如圖2，以點C為原點，建立平面直角坐標系，請通過計算判斷，過E點的反比例函數圖象與直線AB是否還有另一個交點？

Answer 1

【答案】
（1）解：作AG⊥BC于G，則AG=CD=12，BG=BC﹣AD=9，

在Rt△ABG中，AB= =15，

∴BE= AB= ．

∵∠ABG=∠FBE，∠AGB=∠FEB，

∴△ABG∽△FBE，

∴ = ，

得BF= =

（2）解：作EH⊥BC于H，則EH=6，

∴CH=6，

點E的坐標是（﹣6，6），

點B的坐標是（﹣ ，0），

設直線AB的解析式為y=kx+b，則

解得： ，

∴直線AB的解析式為y= x+14．

設反比例函數的解析式為y= ，

將E點坐標代入得，k1=﹣36．

∴過E點的反比例函數解析式為y=﹣ ．

由﹣ = x+14，

解得：x1=﹣6，x2=﹣ ．

∴過E點的反比例函數圖象與直線AB還有另一個交點

【解析】（1）作AG⊥BC于G，在直角△AG中利用勾股定理求得AB的長，然后證明△ABG∽△FBE，利用相似三角形的性質求解；（2）作EH⊥BC于H，求得直線AB的解析式，然后解反比例函數和一次函數的解析式組成的方程組求解．
【考點精析】本題主要考查了直角梯形和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握一腰垂直于底的梯形是直角梯形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．