Question

如圖，拋物線與軸交于（，0）、（，0）兩點，且，與軸交于點，其中是方程的兩個根。

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是線段上的一個動點，過點作∥，交于點，連接，當的面積最大時，求點的坐標；

（3）點在（1）中拋物線上，點為拋物線上一動點，在軸上是否存在點，使以為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，求出所有滿足條件的點的坐標，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

（1）∵，∴，。

∴，。····················1分

又∵拋物線過點、、，

故設拋物線的解析式為，

將點的坐標代入，求得。

　　∴拋物線的解析式為。········3分

（2）設點的坐標為（，0），過點作軸于點（如圖（1））。

∵點的坐標為（，0），點的坐標為（6，0），

∴，。···························4分

∵，∴。

∴，∴，∴。·················5分

∴

 ······6分

。

∴當時，有最大值4。

此時，點的坐標為（2，0）。··············7分

（3）∵點（4，）在拋物線上，

∴當時，，

∴點的坐標是（4，）。

如圖（2），當為平行四邊形的邊時，，

∵（4，），∴（0，），。

∴，。 ··········9分

①     如圖（3），當為平行四邊形的對角線時，

設，則平行四邊形的對稱中心為

（，0）。·················10分

∴的坐標為（，4）。

把（，4）代入，得。

解得 。

，。