Question

如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D為BC的中點．

（1）若E、F分別是AB、AC上的點，且AE＝CF，求證：△AED≌△CFD；
（2）當點F、E分別從C、A兩點同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿CA、AB運動，到點A、B時停止；設△DEF的面積為y，F點運動的時間為x，求y與x的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，點F、E分別沿CA、AB的延長線繼續運動，求此時y與x的函數關系式．

Answer 1

（1）利用等腰直角三角形的性質得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，進而得到AD=BD=DC，為證明△AED≌△CFD提供了重要的條件；（2）；（3）

試題分析：（1）利用等腰直角三角形的性質得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，進而得到AD=BD=DC，為證明△AED≌△CFD提供了重要的條件；
（2）利用S_{四邊形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC="9" 即可得到y與x之間的函數關系式；
（3）依題意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，從而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面積相等得到S_△ADF=S_△BDE從而得到S_△EDF=S_△EAF+S_△ADB即可確定兩個變量之間的函數關系式．
（1）∵∠BAC=90° AB=AC=6，D為BC中點
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°    
∴AD=BD=DC
∵AE=CF
∴△AED≌△CFD（SAS）    
（2）依題意有：FC=AE=x，
∵△AED≌△CFD
∴S_{四邊形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=9     
∴S_△EDF=S_{四邊形AEDF}-S_△AEF=9-(6-x)x=x²-3x+9
∴；
（3）依題意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°    
∴△ADF≌△BDE    
∴S_△ADF=S_△BDE
∴S_△EDF=S_△EAF+S_△ADB=(x-6)x+9=x²-3x+9
∴．
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.