Question

【題目】如圖，一次函數y=﹣ x+m（m＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于點A，B，點C在線段OA上，點C的橫坐標為n，點D在線段AB上，且AD=2BD，將△ACD繞點D旋轉180°后得到△A1C1D．

（1）若點C1恰好落在y軸上，試求 的值；
（2）當n=4時，若△A1C1D被y軸分得兩部分圖形的面積比為3：5，求該一次函數的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得B（0，m），A（2m，0），

如圖，過點D作x軸的垂線，交x軸于點E，交直線A1C1于點F，

易知：DE= m，D（ m， m），C1（ m﹣n， m），

∴ m﹣n=0，∴ =

（2）解：由（1）得，當m＞3時，點C1在y軸右側；當2＜m＜3時，點C1在y軸左側．

①當m＞3時，設A1C1與y軸交于點P，連接C1B，

由△A1C1D被y軸分得兩部分圖形的面積比為3：5，∴S△BA1P：S△BC1P=3：1，

∴A1P：C1P=3，∴ m=3（ m﹣4），∴m= ，

∴y=﹣ x+ ；

②當2＜m＜3時，同理可得：y=﹣ x+ ；

綜上所述，y=﹣ x+ 或y=﹣ x+ ．

【解析】（1）由旋轉的性質可得AC1=AC，AD=A1D，當C1落在y軸上時，可得相似，即,對應邊成比例，得出AC1=n,即2m-n=m,得出;（2）可分類討論，m＞3時，C1在y軸右側，可得出S△BA1P：S△BC1P=3：1，底邊長比也為3：1，進而求出解析式；當2＜m＜3時，點C1在y軸左側，類似的可求出解析式.
【考點精析】關于本題考查的確定一次函數的表達式和旋轉的性質，需要了解確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能得出正確答案．