Question

如圖，在直角坐標系中，O為原點，拋物線y=x²+bx+3與x軸的負半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，tan∠ABO=

1

3

，頂點為P．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線向上或向下平移|k|個單位長度后經過點C（-5，6），試求k的值及平移后拋物線的最小值；
（3）設平移后的拋物線與y軸相交于D，頂點為Q，點M是平移的拋物線上的一個動點．請探究：當點M在何位置時，△MBD的面積是△MPQ面積的2倍求出此時點M的坐標．友情提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=-

b

2a

，頂點坐標是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式即可得出B點的坐標為（0，3），即OB=3，在直角三角形OAB中，根據OB的長和∠ABO的正切值即可求出OA的長，也就能得知A點的坐標，然后根據A點的坐標即可求出拋物線的解析式．
（2）可用k表示出平移后拋物線的解析式，已知了平移后的拋物線過點C（-5，6），那么可將C點的坐標代入其中，即可求出k的值．進而可根據得出的二次函數求出其最小值．
（3）本題要先求出BD和PQ的長，根據（2）可得出BD=PQ=2，因此要使△MBD的面積是△MPQ面積的2倍，只需讓M到y軸的距離等于M到拋物線對稱軸（即PQ）的距離的2倍即可．因此本題可分三種情況進行討論：
①M在拋物線對稱軸和y軸的左側時；②M在拋物線對稱軸和y軸之間；③M在y軸和拋物線對稱軸右側時．
根據上述三種情況可得出三個不同的M點的橫坐標，將其代入拋物線的解析式中即可得出M點的坐標．

解答：解：（1）令x=0，則y=3．
∴B點坐標為（0，3），OB=3．
∵tan∠OAB=

OA

AB

=

OA

3

=

1

3

，
∴AO=1．
∴A點坐標為（-1，0）．
∴0=（-1）²+b（-1）+3．
求得b=4．
∴所求的拋物線解析式為y=x²+4x+3．

（2）設平移后拋物線的解析式為y=x²+4x+3+k．
∵它經過點（-5，6），
∴6=（-5）²+4（-5）+3+k．
∴k=-2．
∴平移后拋物線的解析式為y=x²+4x+3-2=x²+4x+1．
配方，得y=（x+2）²-3．
∵a=1＞0，
∴平移后的拋物線的最小值是-3．

（3）由（2）可知，BD=PQ=2，對稱軸為x=-2．
又S_△MBD=2S_△MPQ，
∴BD邊上的高是PQ邊上的高的2倍．
設M點坐標為（m，n）．
①當M點的對稱軸的左側時，則有0-m=2（-2-m）．
∴m=-4．
∴n=（-4）²+4（-4）+1=1．
∴M（-4，1）．
②當M點在對稱軸與y軸之間時，則有0-m=2[m-（-2）]．
∴m=-

4

3

．
∴n=（-

4

3

）²+4（-

4

3

）+1=-

23

9

．
∴M（-

4

3

，-

23

9

）．
③當M點在y軸的右側時，則有m=2[（m-（-2）]．
∴m=-4＜0，不合題意，應舍去．
綜合上述，得所求的M點的坐標是（-4，1）或（-

4

3

，-

23

9

）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象的平移、三角形面積的計算方法等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．