Question

配方法是數學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它．下面我們就求函數的極值，介紹一下配方法．
例：已知代數式a²+6a+2，當a=______時，它有最小值，是______．
解：a²+6a+2=a²+6a+9-9+2=（a+3）²-9+2=（a+3）²-7
因為（a+3）²≥0，所以（a+3）²-7≥-7．
所以當a=-3時，它有最小值，是-7．
參考例題，試求：
（1）填空：當a=______時，代數式（a-3）²+5有最小值，是______．
（2）已知代數式a²+8a+2，當a為何值時，它有最小值，是多少？

Answer 1

解：（1）∵（a-3）²≥0，
∴（a-3）²+5≥5，
∴當a=3時，它有最小值，是5．
故答案為3，5；

（2）∵a²+8a+2=a²+8a+16-16+2=（a+4）²-14，
∴當a+4=0，即a=-4時，（a+4）²-14最小，
∴當a為-4時，a²+8a+2有最小值，是-14．
分析：（1）根據平方的非負性，可知當a=3時，（a-3）²取最小值0，所以當a=3時，（a-3）²+5有最小值，易求此值；
（2）先運用配方法變形a²+8a+2=（a+4）²-14；得出（a+4）²-14最小時，即（a+4）²=0，然后得出答案．
點評：本題考查了非負數的性質和配方法的應用，注意任意數的偶次方的最小值是0，（2）中運用配方法將a²+8a+2變形為（a+4）²-14是解題的關鍵．