Question

（2006•菏澤）如圖，二次函數y=ax²的圖象與一次函數y=x+b的圖象相交于A（-2，2），B兩點，從點A和點B分別引平行于y軸的直線與x軸分別交于C，D兩點，點P（t，0），Q（4，t+3）分別為線段CD和BD上的動點，過點P且平行于y軸的直線與拋物線和直線分別交于R，S．
（1）求一次函數和二次函數的解析式，并求出點B的坐標；
（2）指出二次函數中，函數y隨自變量x增大或減小的情況；
（3）當SR=2RP時，求t的值；
（4）當S_△BRQ=15時，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A點的坐標分別代入直線和拋物線中，即可求得兩函數的解析式，然后聯立兩函數可求出B點坐標；
（2）可根據拋物線的對稱軸和開口方向進行判斷；
（3）可分別求出當x=t時，S，R的縱坐標，RP為R的縱坐標，SR為S，R的縱坐標差的絕對值，據此可求出t的值．（也可理解為SR為當x=t時，兩函數的函數值的差，據此可列出關于t的方程，可求出t的值）；
（4）本題可先求出BQ的長，然后根據R、B的橫坐標求出△BRQ底邊BQ上的高，由此可得出關于三角形BRQ的面積與t的函數關系式，將S=15代入函數式中即可求出t的值．
解答：解：（1）由題意知點A（-2，2）在y=ax²的圖象上，又在y=x+b的圖象上所以得
2=a（-2）²和2=-2+b，
∴a=，b=4．
∴一次函數的解析式為y=x+4．
二次函數的解析式為y=x²．
由，
解得或，
所以B點的坐標為（4，8）．

（2）對二次函數y=x²：
當x＜0時，y隨自變量x的增大而減小；
當x＞0時，y隨自變量x的增大而增大．

（3）因過點P（t，0）且平行于y軸的直線為x=t，
由得，
所以點S的坐標（t，t+4）．
由得，
所以點R的坐標（t，t²）．
所以SR=t+4-t²，RP=t²．
由SR=2RP得t+4-t²=2×t²，
解得t=-或t=2．
因點P（t，0）為線段CD上的動點，
所以-2≤t≤4，
所以t=-或t=2．

（4）因BQ=8-（t+3）=5-t，點R到直線BD的距離為4-t，
所以S_△BPQ=（5-t）（4-t）=15．
解得t=-1或t=10．
因為-2≤t≤4，
所以t=-1．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形面積的求法、函數圖象交點等重要知識點．綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．