Question

如圖，直線y=x-3分別與y軸、x軸交于點(diǎn)A，B，拋物線y=-x²+2x+2與y軸交于點(diǎn)C，此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸分別與BC，x軸交于點(diǎn)P，Q．
（1）求證：AB=AC；
（2）求證：AP垂直平分線段BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件可以求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，從而求出OC、OA、OB的長(zhǎng)，再求出AC的長(zhǎng)，由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，從而可以得出結(jié)論．
（2）根據(jù)拋物線的解析式求出對(duì)稱(chēng)軸，從而求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，求出OQ、BQ的值，利用直線平行證明三角形相似從而求出P是BC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論．
解答：證明：（1）∵y=x-3，
∴x=0時(shí)，y=-3，
∴A（0，-3），
當(dāng)y=0時(shí)，x=4，
∴B（4，0），
∵y=-x²+2x+2，
∴x=0時(shí)，y=2，
∴C（0，2）．
∴OA=3，OB=4，OC=2．
∴AC=OA+OC=5．
AB===5．
∴AB=AC．

（2）∵拋物線y=-x²+2x+2，
∴y=-（x²-4x+4-4）+2
=-（x-2）²+4
∴對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0）．
∴OQ=BQ=2．
∵PQ∥y軸，
∴△BPQ∽△BCO．
∴===．
∴BP=PC，
∵AB=AC，∴AP⊥BC．
∴AP垂直平分線段BC．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)、一次函數(shù)的綜合試題，考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及勾股定理的運(yùn)用．