Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CD⊥AB于點D．P為AB延長線上一點，∠PCD=2∠BAC．

（1）求證：CP為⊙O的切線；

（2）若BP=1，CP=,求 ⊙O的半徑；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為2.

【解析】試題分析：

（1）如圖，連接OC，先證∠DOC=2∠BAC，結合∠PCD=2∠BAC，可得∠PCD=∠DOC；由CD⊥AB于點D可得∠DOC+∠DCO=90°，由此可得∠PCD+∠DCO=∠PCO=90°，從而可得PC是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為則，OC=OB= ，OP=AB+AP= ，在Rt△OCP中，由勾股定理可得OC2+PC2=OP2，即，解此方程即可求得⊙O的半徑.

試題解析：

（1）如圖，連接OC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠ACO，

∴∠POC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC，

又∵∠PCD=2∠BAC，

∴∠POC=∠PCD，

∵CD⊥AB于點D，

∴∠ODC=90.

∴∠POC+∠OCD=90.

∴∠PCD+∠OCD=90.

∴∠OCP=90.

∴半徑OC⊥CP.

∴OP為⊙O的切線.

（2）設⊙O的半徑為r，則OC=OB= ，OP=AB+AP= ，

∵在Rt△OCP中，OC2+CP2=OP2，CP=

∴

解得： .

∴⊙O的半徑為2.