Question

先閱讀并完成第（1）題，再利用其結(jié)論解決第（2）題．
（1）已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)根為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-，x₁•x₂=．這個(gè)結(jié)論是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)最先發(fā)現(xiàn)并證明的，故把它稱為“韋達(dá)定理”．利用此定理，可以不解方程就得出x₁+x₂和 x₁•x₂的值，進(jìn)而求出相關(guān)的代數(shù)式的值．
請(qǐng)你證明這個(gè)定理．
（2）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的兩個(gè)根記作a_n，b_n（n≥2），
請(qǐng)求出+…的值．

Answer 1

解：（1）根據(jù)求根公式x=知，
x₁=，x₂=，
故有x₁+x₂=+=-，x₁•x₂=×=；

（2）∵根與系數(shù)的關(guān)系知，a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，
∴（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），
∴=-（-），
∴+…
=-[（-）+（-）+…+（-）]
=-×（-）
=-．
分析：（1）首先利用求根公式x=求得該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，然后再來(lái)求得x₁+x₂=-，x₁•x₂=；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，所以（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），
則=-（-），然后代入即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．在證明韋達(dá)定理時(shí)，借用了求根公式x=．