Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點G在對角線BD上（不與點B，D重合），GE⊥DC于點E，GF⊥BC于點F，連結AG．

（1）寫出線段AG，GE，GF長度之間的數量關系，并說明理由；
（2）若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF=105°，求線段BG的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：結論：AG2=GE2+GF2．

理由：連接CG．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴A、C關于對角線BD對稱，

∵點G在BD上，

∴GA=GC，

∵GE⊥DC于點E，GF⊥BC于點F，

∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，

∴四邊形EGFC是矩形，

∴CF=GE，

在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，

∴AG2=GF2+GE2

（2）

解：作BN⊥AG于N，在BN上截取一點M，使得AM=BM．設AN=x．

∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，

∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，

∴∠AMN=30°，

∴AM=BM=2x，MN= x，

在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，

∴1=x2+（2x+ x）2，

解得x= ，

∴BN= ，

∴BG=BN÷cos30°= ．

【解析】（1）結論：AG2=GE2+GF2 ． 只要證明GA=GC，四邊形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可證明；
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點M，使得AM=BM．設AN=x．易證AM=BM=2x，MN= x，在Rt△ABN中，根據AB2=AN2+BN2 ， 可得1=x2+（2x+ x）2 ， 解得x= ，推出BN= ，再根據BG=BN÷cos30°即可解決問題；
【考點精析】掌握勾股定理的概念和正方形的性質是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．