Question

在直角坐標系中，點A（5，0）關于原點O的對稱點為點C．
（1）請直接寫出點C的坐標；
（2）若點B在第一象限內，∠OAB=∠OBA，并且點B關于原點O的對稱點為點D．
①試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
②現有一動點P從B點出發，沿路線BA-AD以每秒1個單位長的速度向終點D運動，另一動點Q從A點同時出發，沿AC方向以每秒0.4個單位長的速度向終點C運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．已知AB=6，設點P、Q的運動時間為t秒，在運動過程中，當動點Q在以PA為直徑的圓上時，試求t的值？

Answer 1

分析：（1）平面內關于原點對稱的兩個點的坐標：橫、縱坐標互為相反數；
（2）①首先能夠根據題意正確畫出圖形，然后發現可利用對角線的性質來判斷所給四邊形的形狀；
②動點Q在以PA為直徑的圓上時，∠PQA=90°，注意分情況進行分析．

解答：解：（1）根據題意，得C（-5，0）；

（2）①四邊形ABCD為矩形，理由如下：
如圖，由已知可得：A、O、C在同一直線上，且OA=OC；
B、O、D在同一直線上，且OB=OD．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，即AC=2OA=2OB=BD．
∴四邊形ABCD是矩形．

②如圖，由①得四邊形ABCD是矩形．
∴∠CBA=∠ADC=90°．
又AB=CD=6，AC=10，
∴由勾股定理，得
BC=AD=

AC2-AB2

=

102-62

=8．
∵

10

0.4

=25，

6+8

1

=14，∴0≤t≤14．
當0≤t≤6時，P點在AB上，連接PQ．
∵AP是直徑，∴∠PQA=90°．
又∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB
∴

PA

CA

=

AQ

AB

，即

6-t

10

=

0.4t

6

，解得t=3.6．
當6＜t≤14時，P點在AD上，連接PQ，
同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD
∴

PA

CA

=

AQ

AD

，即

t-6

10

=

0.4t

8

，解得t=12．
綜上所述，當動點Q在以PA為直徑的圓上時，t的值為3.6或12．

點評：本題用到的知識點為：①兩個點關于原點對稱，它們的橫縱坐標互為相反數；
②對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；
③直徑所對的圓周角是90°．