Question

【題目】如圖，直線y＝x＋2與拋物線y＝ax2＋bx＋6相交于A(， )和B(4，m)，點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸，交拋物線于點C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)是否存在這樣的點P，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值，若不存在，請說明理由；

(3)當△PAC為直角三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y＝2x2－8x＋6(2)存在符合條件的點P(， )，使線段PC的長有最大值.(3)滿足條件的點P有兩個，為P1(3，5)，P2(， )．

【解析】試題分析：（1）通過直線AB的解析式求出B點坐標。將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式中得到一組關于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值并代回拋物線的解析式中即可。

（2）根據直線AB的解析式設出點P的坐標。點P與點C的橫坐標相同，由拋物線的解析式得出點C的坐標，即可得出PC關于點P坐標的表達式。根據二次函數的性質求出PC的長的最大值，即可求出點P的坐標。

（3）當△PAC是直角三角形時，有①∠PAC=90°和②∠PCA=90°這兩種情況，分別求出這兩種情況下的點P的坐標即可。

解：(1)∵B(4，m)在直線y＝x＋2上，

∴m＝6，B(4，6)．

∵A(，)、B(4，6)在拋物線y＝ax2＋bx＋6上，

∴解得

∴所求拋物線的表達式為y＝2x2－8x＋6.

(2)設動點P的坐標為(n，n＋2)，則點C的坐標為(n，2n2－8n＋6)．

∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋.∵a＝－2＜0，

∴當n＝時，線段PC取得最大值，此時，P(，)．

綜上所述，存在符合條件的點P(，)，使線段PC的長有最大值.

(3)顯然，∠APC≠90°，如圖1，當∠PAC＝90°時，設直線AC的表達式為y＝－x＋b，把A(，)代入，得－＋b＝.解得b＝3.由－x＋3＝2x2－8x＋6，得x1＝3或x2＝ (舍去)．

當x＝3時，x＋2＝3＋2＝5.此時，點P的坐標為P1(3，5)．

如圖2，當∠PCA＝90°時，由A(，)知，點C的縱坐標為y＝.

由2x2－8x＋6＝，得x1＝ (舍去)，x2＝.當x＝時，x＋2＝＋2＝.

此時，點P的坐標為P2(，)．

綜上可知，滿足條件的點P有兩個，為P1(3，5)，P2(，)．